Question

（2006•西城区一模）椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)的焦点在x轴上，其右顶点关于直线x-y+4=0的对称点在椭圆的左准线上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交椭圆左准线于点C．设O为坐标原点，且

OA

+

OC

=2

OB

，求△OAB的面积．

Answer 1

分析：（I）利用轴对称的性质、椭圆的标准方程及其性质即可得出；
（II）把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用向量运算及其相等即可得出．

解答：解：（I）椭圆的右顶点为（2，0）．
设（2，0）关于直线x-y+4=0的对称点为（x₀，y₀），则

x0+2 2 - y0 2 +4=0 y0 x0-2 =-1

解得：x₀=-4
所以

a2

c

=

4

c

=4，c=1
则b=

3

，所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-4，y₃）
由

3x2+4y2=12 y=k(x+1)

得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
所以x1+x2=

-8k2

3+4k2

＜1＞x1x2=

4k2-12

3+4k2

＜2＞．
∵

OA

+

OC

=2

OB

，即（x₁，y₁）+（-4，y₃）=2（x₂，y₂）
∴2x₂-x₁=-4＜3＞．
由＜1＞＜3＞得：x2=-

4+8k2

3+4k2

，x1=

4

3+4k2

代入＜2＞得：-

4+8k2

3+4k2

•

4

3+4k2

=

4k2-12

3+4k2

整理得：4k⁴-k²-5=0．
∴k2=

5

4

∴x1=

1

2

，x2=-

7

4

．
由于对称性，只需求k=

5

2

时，△OAB的面积，
此时，y1=

3

4

5

，y2=-

3

8

5

∴S△OAB=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

9

16

5

．

点评：熟练掌握轴对称的性质、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为把直线的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系、向量运算及其相等等是解题的关键．