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【题目】设函数.

(1)当时,求函数的值域;

(2)若对任意,恒有,求实数的取值范围.

【答案】12

【解析】

1)若,则,根据得到分段函数,进而可得的值域;

2)对任意,恒有,即恒成立,

对任意恒成立,构造函数和函数讨论即可.

1)当时,,即

时,

此时

时,

此时

综上:的值域为.

2)对任意,恒有,即恒成立,所以

所以对任意恒成立,

,对任意恒有

为开口向上,其对称轴为的二次函数,则在区间上单调递增,

所以,解得

故对任意恒有的取值范围为

,对任意恒有,因为开口向上,其对称轴为的二次函数,

,即时,在区间上单调递增,

所以,解得,所以

,即时,在区间上单调递减,

所以,解得,所以

,即时,在区间上单调递减,在区间上单调递增,

所以 ,解得(舍)

所以,故对任意的取值范围为

综上对任意,恒有时,的取值范围为.

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