已知椭圆C:()经过与两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点,椭圆C上一点M满足.求证:为定值.
(Ⅰ)(Ⅱ)①若点A、B是椭圆的短轴顶点,则点M是椭圆的一个长轴顶点,此时.同理,若点A、B是椭圆的长轴顶点,则点M在椭圆的一个短轴顶点,此时
.②若点A、B、M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为(),
则直线OM的方程为,设,,由解得,,∴,同理,所以,为定值. 13分
解析试题分析:(Ⅰ)将与代入椭圆C的方程,
得解得,.
∴椭圆的方程为. 6分
(Ⅱ)由,知M在线段AB的垂直平分线上,由椭圆的对称性知A、B关于原点对称.
①若点A、B是椭圆的短轴顶点,则点M是椭圆的一个长轴顶点,此时
.
同理,若点A、B是椭圆的长轴顶点,则点M在椭圆的一个短轴顶点,此时
.
②若点A、B、M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为(),
则直线OM的方程为,设,,
由解得,,
∴,同理,
所以,
故为定值. 13分
考点:椭圆方程及直线与椭圆的位置关系
点评:求椭圆方程采用的待定系数法,第二问中要证明式子结果是定值首先需求出点坐标,结合已知条件可知这三点坐标教容易求出,因此只需联立方程求解即可
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:过点,上、下焦点分别为、,
向量.直线与椭圆交于两点,线段中点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)求直线的方程;
(3)记椭圆在直线下方的部分与线段所围成的平面区域(含边界)为,若曲线
与区域有公共点,试求的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的焦点为,点是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,.
(1)求抛物线的方程;
(2)设点是抛物线上的两点,的角平分线与轴垂直,求直线AB的斜率;
(3)在(2)的条件下,若直线过点,求弦的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,其左、右焦点分别为、,短轴长为,点在椭圆上,且满足的周长为6.
(Ⅰ)求椭圆的方程;;
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆相交于A、B两点,试问在x轴上是否存在一个定点M使恒为定值?若存在求出该定值及点M的坐标,若不存在请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知曲线,
(1)化的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线?
(2)若上的点P对应的参数为,Q为上的动点,求PQ的中点M到直线的距离的最小值
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线: 的焦点,点是与在第二象限的交点,且。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点(1,3)和圆:,过点的动直线与圆相交于不同的两点,在线段取一点,满足:,(且)。
求证:点总在某定直线上。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线的离心率为,右准线方程为。
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)已知直线与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆上,求实数m的值。
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