Question

设f（x）=x²+ax+b，求证：||f（1）|，|f（2）||f（3）|中至少有一个不小于

1

2

．

Answer 1

分析：因“至少有一个不小于”的反面情况较简单，比较方便证明，故从反面进行证明，用反证法．先根据函数f（x）的解析式，分别将x=1，2，3代入求得f（1），f（3），f（2），进而求得f（1）+f（3）-2f（2）．再假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于

1

2

，推出-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2，利用此式与上面求得的式子矛盾，从而得出证明．

解答：证明：∵f（x）=x²+ax+b
∴f（1）=1+a+bf（2）=4+2a+bf（3）=9+3a+b，
所以f（1）+f（3）-2f（2）=（1+a+b）+（9+3a+b）-2（4+2a+b）=2．
假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于

1

2

，
则 |f(1)|＜

1

2

，|f(2)|＜

1

2

，|f(3)|＜

1

2

，
即有 -

1

2

＜f(1)＜

1

2

-

1

2

＜f(2)＜

1

2

-

1

2

＜f(3)＜

1

2

∴-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2
由正面可知f（1）+f（3）-2f（2）=2，
与-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．

点评：反证法是一种从反面的角度思考问题的证明方法，体现的原则是正难则反．反证法的基本思想：否定结论就会导致矛盾，证题模式可以简要的概括为“否定→推理→否定”．实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立．