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精英家教网如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=60°,对角线AC与BD相交于点O,PO为四棱锥P-ABCD的高,且PO=
3
,E、F分别是BC、AP的中点.
(1)求证:EF∥平面PCD;
(2)求三棱锥F-PCD的体积.
分析:(1)取PD的中点G,连接FG,CG,由三角形中位线定理及平行四边形性质,可得EF∥CG,进而由线面平行的判定定理得到答案;
(2)取OA中点N,连接FN,由条件证明出FN⊥底面ABCD,再根据条件求出FN、DO、AC,再利用分割法得出VF-PCD=VA-PCD-VA-FCD,利用条件中的线面垂直对三棱锥进行换底,代入体积公式求解即可.
解答:(1)证明精英家教网:取PD的中点G,连接FG,CG,
∵FG为△PAD的中位线,
∴FG∥AD且,FG=
1
2
AD
在菱形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,
又∵E为BC的中点,∴CE∥AD,且CE=
1
2
AD
∴CE∥FG且,CE=FG
∴四边形EFCG为平行四边形,∴EF∥CG,
又∵EF?平面PCD,CG?平面PCD
∴EF∥平面PCD;
(2)解:取OA中点N,连接FN精英家教网
∵F为PA的中点,故FN∥PO,
∵OP⊥底面ABCD,∴FN⊥底面ABCD,
在△PAO中,FN=
1
2
PO=
3
2

∵底面是边长为2的菱形,∠BAD=60°,
∴AC⊥BD,且DO=1,AC=2
3

由几何体得,VF-PCD=VA-PCD-VA-FCD
=VP-ACD-VF-ACD
=
1
3
S△ACD•PO
-
1
3
S△ACD•FN

=
1
3
S△ACD(PO-FN)
=
1
3
×
1
2
×2
3
×1×
3
2

=
1
2
点评:本题考查了直线与平面平行的判定,几何体的体积求法,其中(1)的关键是要在平面内找到一条可能与EF平行的直线;(2)考查了几何体的体积求法-分割法、换底法灵活应用,关键是利用垂直关系找几何体的高,以及几何体之间的关系,难度较大,属中档题.
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2
,∠PAB=60°.
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