Question

4．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{{{a_n}（{a_n}+2）}}{4}$（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=100-3ⁿ•a_n，求数列{|b_n|}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用n=1时，a₁=S₁，n＞1时a_n=S_n-S_n-1，结合等差数列的通项公式即可得到所求通项；
（Ⅱ）求得b_n=100-3ⁿ•a_n，设${C_n}=2n•{3^n}$，${C_n}=2n•{3^n}$的前n项和${S_n}^'$，运用错位相减法可得，再讨论当1≤n≤2，当n≥3，即可得到所求数列的和．

解答 解：（Ⅰ）由${S_n}=\frac{{{a_n}（{a_n}+2）}}{4}（n∈N*）$，
n=1时，a₁=S₁=$\frac{{a}_{1}（{a}_{1}+2）}{4}$，解得a₁=2；
当n＞1时，n用n-1代，可得S_n-1=$\frac{{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+2）}{4}$，
两式相减得${a_n}^2-{a_{n-1}}^2=2（{a_n}+{a_{n-1}}）$，
因为a_n正项数列，可得${a_n}^{\;}-{a_{n-1}}^{\;}=2（n≥2）$，
则a_n为等差数列，得a_n=2n．     
（Ⅱ）|b_n|=|100-3ⁿ•a_n|=|100-2n•3ⁿ|=$\left\{\begin{array}{l}{100-2n•{3}^{n}，1≤n≤2}\\{2n•{3}^{n}-100，n≥3}\end{array}\right.$，
设${C_n}=2n•{3^n}$，${C_n}=2n•{3^n}$的前n项和${S_n}^'$，
S_n'=2•3+4•3²+…+2n•3ⁿ，3S_n'=2•3²+4•3³+…+2n•3ⁿ⁺¹，
$⇒{S_n}^'=（n-\frac{1}{2}）•{3^{n+1}}+\frac{3}{2}$． 
当1≤n≤2，S_n=$-（n-\frac{1}{2}）•{3^{n+1}}+100n-\frac{3}{2}$；
当n≥3，S_n=$（n-\frac{1}{2}）•{3^{n+1}}-100n+\frac{3}{2}$+316=$（n-\frac{1}{2}）•{3^{n+1}}-100n+317\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项和求和，注意运用数列的通项和前n项和的关系和等差数列的通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法，以及分类讨论思想方法，属于中档题．