(本题满分12分)
设函数,
(1) 如果且对任意实数
均有
,求
的解析式;
(2) 在(1)在条件下, 若在区间
是单调函数,求实数
的取值范围;
(3) 已知且
为偶函数,如果
,求证:
.
(1);(2)
的取值范围是
;
(3) .
解析试题分析: (1) 根据二次函数的函数值f(1)=0和函数值恒大于等于零得到及解析式。
(2) 在(1)在条件下,要是函数单调递增,则根据对称轴与定义域的关系分类讨论得到。
(3) 结合奇偶性的性质,以及函数单调性得到不等式的证明。
解(1)∵,∴
(1分)
对任意实数
均有
恒成立,
即对任意实数均有
恒成立(2分)
当时,
,这时,
,它不满足
恒成立(3分)
当时,则
且
,
(4分)
从而,∴
(5分)
(2)由(1)知
∴=
(6分)
在区间
是单调函数
或
,即
或
的取值范围是
(7分)
(3) ∵是偶函数,∴
(8分)
故,
(9分)
∵,∴当
时
中至少有一个正数,即
都是正数或一个正数,一个负数
若都是正数,则
,所以
(10分)
若一个正数,一个负数,不妨设
,又
则=
(11分)
综上可得,.(12分)
考点:本题主要考查了二次函数与分段函数的性质运用。
点评:解决该试题的关键是能通过解析式的特点以及二次函数的性质,来得到判别式小于等于零,从而得到解析式。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).
(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系;
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分16分)
已知函数(
∈R且
),
.
(Ⅰ)若,且函数
的值域为[0, +
),求
的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当x∈[-2 , 2 ]时,是单调函数,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)设,
, 且
是偶函数,判断
是否大于零?
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