Question

已知椭圆=1上任意一点P，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且=2，点M的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G，H（点G在点F，H之间），且满足=2，求直线l的方程.

Answer 1

（1）+y²=1（2）y=±x+2

解析:

（1）设M（x,y）,P(x₀,y₀),

∵=2，∴

将其代入椭圆方程得=1

得曲线E的方程为：+y²=1.

(2)设G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂），

∵=2，∴x₂=2x₁                                                                                                                                                                         ①

依题意，当直线l斜率不存在时，G（0，1），H（0，-1），不满足=2.故设直线l:y=kx+2,代入曲线E的方程并整理得（1+2k²）x²+8kx+6=0,                                          （*）

∴x₁+x₂=-,x₁·x₂=                                                                                                         ②

联立①②解得k=±,此时（*）中Δ＞0.

所以直线l的方程为：y=±x+2.