已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列{an+1-an}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{bn}满足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)，证明{bn}是等差数列．
分析：（Ⅰ）利用等比数列的定义，构造
=q≠0进行证明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）可先求a
n+1-a
n=2
n，利用叠加法可得a
n=（a
n-a
n-1）+（a
n-1-a
n-2）+…+（a
2-a
1）+a
1，从而可求a
n；
（Ⅲ）由已知可得2[（b
1+b
2+…+b
n）-n]=nb
n，利用递推公式可得2[（b
1+b
2+…+b
n+b
n+1）-（n+1）]=（n+1）b
n+1结合两式可证．
解答：解：（Ⅰ）证明：∵a
n+2=3a
n+1-2a
n，
∴a
n+2-a
n+1=2（a
n+1-a
n），
∵a
1=1，a
2=3，
∴
=2(n∈N*)．
∴{a
n+1-a
n}是以a
2-a
1=2为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得a
n+1-a
n=2
n（n∈N
*），
∴a
n=（a
n-a
n-1）+（a
n-1-a
n-2）++（a
2-a
1）+a
1=2
n-1+2
n-2++2+1
=2
n-1（n∈N
*）．
（Ⅲ）证明：∵
4b1-14b2-14bn-1=(an+1)bn，
∴
4b1+b2+…+bn-n=
2nbn∴2[（b
1+b
2+…+b
n）-n]=nb
n，①
2[（b
1+b
2+…+b
n+b
n+1）-（n+1）]=（n+1）b
n+1．②
②-①，得2（b
n+1-1）=（n+1）b
n+1-nb
n，
即（n-1）b
n+1-nb
n+2=0．③
nb
n+2-（n+1）b
n+1+2=0．④
④-③，得nb
n+2-2nb
n+1+nb
n=0，
即b
n+2-2b
n+1+b
n=0，∴b
n+2-b
n+1=b
n+1-b
n（n∈N
*），
∴{b
n}是等差数列．
点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识的综合运用，考查化归的数学思想方法在解题中的运用，考查综合解题能力．
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