Question

设定义在[0，2]上的函数f（x）满足下列条件：
①对于x∈[0，2]，总有f（2-x）=f（x），且f（x）≥1，f（1）=3；②对于x，y∈[1，2]，若x+y≥3，则f（x）+f（y）≤f（x+y-2）+1．
证明：（1）对于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，则f（x+y）≥f（x）+f（y）-1
（2）f(

1

3n

)≤

2

3n

+1（n∈N^*）；
（3）x∈[1，2]时，1≤f（x）≤13-6x．

Answer 1

分析：（1）由f（2-x）=f（x）知，函数f（x）图象关于直线x=1对称，则根据②可知：对于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，
两者结合即得；
（2）先利用单调函数的定义证明f（x）在[0，1]上是不减函数，利用f(

1

3n-1

)=f(

1

3n

+

1

3n

+

1

3n

)≥f(

1

3n

+

1

3n

)+f(

1

3n

)-1≥3f(

1

3n

)-2，进行放缩结合等比数列的求和即得；（3）对于任意x∈（0，1]，则必存在正整数n，使得

1

3n

≤x≤

1

3n-1

．因为f（x）在（0，1）上是不减函数，所以f(

1

3n

)≤f(x)≤f(

1

3n-1

)，由（2）知f(

1

3n-1

)≤

2

3n-1

+1=6

1

3n

+1≤6x+1，结合题中条件充分利用赋值法及不等式的性质即可．

解答：证明：（1）由f（2-x）=f（x）知，函数f（x）图象关于直线x=1对称，
则根据②可知：对于x，y∈[0，1]，若x+y≤1，
则f（x+y）≥f（x）+f（y）-1．…（2分）
（2）设x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，则x₂-x₁∈[0，1]．
∵f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-1-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1≥0，
∴f（x）在[0，1]上是不减函数．…（4分）
∵f(

1

3n-1

)=f(

1

3n

+

1

3n

+

1

3n

)≥f(

1

3n

+

1

3n

)+f(

1

3n

)-1≥3f(

1

3n

)-2，
∴f(

1

3n

)≤

1

3

f(

1

3n-1

)+

2

3

≤

1

32

f(

1

3n-2

)+

2

32

+

2

3

≤…≤

1

3n

f(

1

3n-n

)+

2

3n

+…+

2

3

=

1

3n-1

+1-

1

3n

=

2

3n

+1．…（8分）
（3）对于任意x∈（0，1]，则必存在正整数n，使得

1

3n

≤x≤

1

3n-1

．
因为f（x）在（0，1）上是不减函数，所以f(

1

3n

)≤f(x)≤f(

1

3n-1

)，
由（2）知f(

1

3n-1

)≤

2

3n-1

+1=6

1

3n

+1≤6x+1．
由①可得f（2）≥1，在②中，令x=y=2，得f（2）≤1，∴f（2）=1．
而f（2）=f（0），∴f（0）=1，又f(

1

3n

)≥f(0)，∴f(

1

3n

)≥1，
∴x∈[0，1]时，1≤f（x）≤6x+1．．…（12分）
∵x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，且f（x）=f（2-x），
∴1≤f（2-x）≤6（2-x）+1=13-6x，
因此，x∈[1，2]时，1≤f（x）≤13-6x．…．（14分）

点评：本题主要考查函数单调性的性质、函数单调性的判断与证明、数列知识与函数知识的综合问题．解答关键在于对赋值法的熟练应用．