Question

3．数列{a_n}满足a_na_n+1-a_n+1=-1，a₂₀₁₆=-1，则a₃₆₁等于（　　）

• A． -1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，由a₂₀₁₆=-1依次求出数列的一些项，可得数列{a_n}是以3为周期的周期数列，则答案可求．

解答 解：由a_na_n+1-a_n+1=-1，得${a}_{n}=\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}}$，
又a₂₀₁₆=-1，
∴a₂₀₁₅=2，${a}_{2014}=\frac{1}{2}，{a}_{2013}=-1，{a}_{2012}=2$，…，
于是数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
∴${a}_{361}={a}_{364}=…={a}_{2014}=\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，关键是对数列周期的发现，是中档题．