Question

（2007•湖北模拟）已知函数f（x）=x²-2x-3，x∈[0，1]，g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]．
（1）求f（x）的值域M；
（2）若a≥1，求g（x）的值域N；
（3）在（2）的条件下，若对于任意的x∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]使得f（x₁）=g（x₀），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）d的对称轴，判断出函数f（x）的单调性，进一步求出f（x）的最值即值域．
（2）求出函数g（x）的导函数，判断出导函数的符号，得到函数g（x）的单调性，求出g（x）的值域；
（3）将已知条件对任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]使f（x₁）=g（x₀）转化为两个函数值域的关系M⊆N，列出不等式求出a的范围．

解答：解：（1）∵f（x）=（x-1）²-4，x∈[0，1]
所以f（x）在[0，1]单调递减，
所以当x=0时函数最大为-3，当x=1时函数最小为-4
故f（x）值域为M=[-4，-3]（4分）
（2）∵g′（x）=3x²-3a²=3（x²-a²）
∵x∈[0，1]a≥1
∴x²-a²≤0即g′（x）≤0
∴g′（x）=x²-3a²x-2a在[0，1]上单调递减
故g（x）的值域为N=[1-2a-3a²，-2a]（8分）
（3）∵对任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]使f（x₁）=g（x₀）
∴M⊆N
∴

1-2a-3a2≤-4 -2a≥-3

即

a≥1或a≤- 5 3 a≤ 3 2

又∵a≥1
∴a∈[1，

3

2

]（13分）

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．