Question

7．如图，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上任一点，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点，求|PF₁|的 最大值和最小值．

Answer 1

分析 设椭圆的焦距为2c，即有c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，设出左焦点和左准线，运用椭圆的第二定义，可得|PF₁|=ed，再由椭圆的范围，即可得到最值．

解答 解：设椭圆的焦距为2c，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
设左焦点为（-c，0），左准线为x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，
离心率e=$\frac{c}{a}$，
即有|PF₁|=ed（d为左焦点到左准线的距离）
=$\frac{c}{a}$（x_P+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=a+$\frac{c}{a}$•x_P，
当x_P=a时取得最大值a+c，即a+$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$；
当x_P=-a时取得最小值a-c，即a-$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查椭圆的范围及运用，注意焦半径公式的运用，属于中档题．