Question

已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（x+a）≤f（-2）在x∈[0，3]上恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：利用函数的奇偶性、单调性可把f（x+a）≤f（-2）化为|x+a|≤2，进而化为-2-a≤x≤2-a在[0，3]上恒成立，利用函数的最值可求．

解答： 解：∵f（x）是偶函数，
∴f（x+a）≤f（-2）可化为f（|x+a|）≤f（2），
又f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴|x+a|≤2在[0，3]上恒成立，即-2-a≤x≤2-a在[0，3]上恒成立，
∴

-2-a≤0 3≤2-a

，解得-2≤a≤-1，
故答案为：[-2，-1]．

点评：该题考查函数的奇偶性、单调性及函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．