Question

5．已知F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，G是双曲线C上一点，且满足|GF₁|-7|GF₂|=0，则C经过第一象限的渐近线的斜率的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{7}}{3}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]
• C． （$\sqrt{2}$，$\frac{5}{3}$]
• D． （$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{13}}{3}$]

Answer 1

分析 设G点的横坐标为x₀，注意到x₀≥a．由双曲线第二定义得：|GF₁|=a+ex₀，|GF₂|=ex₀-a，利用|GF₁|-7|GF₂|=0，可得a+ex₀=7（ex₀-a），x₀=$\frac{4a}{3e}$≥a，由此即可得出结论．

解答 解：设G点的横坐标为x₀，注意到x₀≥a．
由双曲线第二定义得：|GF₁|=a+ex₀，|GF₂|=ex₀-a，
∵|GF₁|-7|GF₂|=0，
∴a+ex₀=7（ex₀-a），
∴x₀=$\frac{4a}{3e}$≥a，
∴1＜e≤$\frac{4}{3}$，
∴0＜$\frac{b}{a}$≤$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴C经过第一象限的渐近线的斜率的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{7}}{3}$]．
故选A．

点评 本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合运用所学知识解决问题能力．