Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n项和为S_n，且当n≥2时，a_n+1S_n-1-a_nS_n=0．
（Ⅰ）求证：数列{S_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，证明对于任意的正整数n，都有

3

8

≤Tn＜

7

8

成立．

Answer 1

分析：（1）由S_n与a_n的关系得a_n+1S_n-1-a_nS_n=（S_n+1-S_n）S_n-1-（S_n-S_n-1）S_n=S_n+1S_n-1-S_n²整理得S_n²=S_n-1S_n+1s所以数列{S_n}是等比数列
（2）由（1）先求出S_n=4^n-1接着当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2验证n=1也成立，可求出数列{a_n}的通项公式．
（3）把a_n的通项公式代入bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

得b_n的通项公式求出T_n，利用其单调性与放缩法证明不等式

3

8

≤Tn＜

7

8

．

解答：（Ⅰ）证明：当n≥2时，
a_n+1S_n-1-a_nS_n=（S_n+1-S_n）S_n-1-（S_n-S_n-1）S_n=S_n+1S_n-1-S_n²，
所以S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2）．
又由S₁=1≠0，S₂=4≠0，可推知对一切正整数n均有S_n≠0，
∴数列{S_n}是等比数列．                                   
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知等比数列{S_n}的首项为1，公比为4，
∴S_n=4^n-1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，又a₁=S₁=1，
∴an=

1 (n=1) 3×4n-2，(n≥2).

（Ⅲ）证明：当n≥2时，a_n=3×4^n-2，
此时bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

=

9×3×4n-2

(3×4n-2+3)(3×4n-1+3)

=

3×4n-2

(4n-2+1)(4n-1+1)

，
又b1=

9a1

(a1+3)(a2+3)

=

3

8

，
∴bn=

3 8 ，(n=1) 3×4n-2 (4n-2+1)(4n-1+1) ，(n≥2)

．                       
当n≥2时，
bn=

3×4n-2

(4n-2+1)(4n-1+1)

=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

Tn=b1+b2+…+bn=

3

8

+(

1

42-2+1

-

1

42-1+1

)+…+(

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

)
=

7

8

-

1

4n-1+1

＜

7

8

．                                 
又因为对任意的正整数n都有b_n＞0，所以T_n单调递增，即T_n≥T₁，
∵T1=b1=

3

8

＜

7

8

所以对于任意的正整数n，都有

3

8

≤Tn＜

7

8

成立．

点评：考查S_n与a_n的关系与分类讨论的思想，在这里求数列通项公式以及运用单调性与放缩法求和的对计算能力也有一定的要求．