Question

【题目】设M=10a2+81a+207，P=a+2，Q=26﹣2a，若将lgM，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列{an}的前三项． （Ⅰ）求a的值及{an}的通项公式；
（Ⅱ）记函数 的图像在x轴上截得的线段长为bn ， 设 ，求Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意有﹣2＜a＜13， ∵M﹣P=10a2+80a+205＞0，M﹣Q=10a2+83a+181＞0，
∴M最大．
又P﹣Q=﹣24+3a，
当﹣2＜a＜8时，P＜Q，lgP+1=lgQ．
∴10P=Q，
∴ ，此时M＞Q＞P，且满足lgM=1+lgQ．
∴ 符合题意．
当8＜a＜13时，P＞Q，lgP=1+lgQ．
∴10Q=P，
∴ ．
但此时不满足lgM=1+lgP．
∴ ．
∴{an}的前三项为lgP，lgQ，lgM，此时 ．
∴an=lgP+（n﹣1）×1=n﹣2lg2．
（Ⅱ）∵2an+1=an+an+2
∴x=﹣1是函数 的零点
即f（x）=0时，（x+1）（anx+an+2）=0
∴ ，||bn=|x1﹣x2|=
又∵an=n﹣2lg2＞0，
∴ ，
∴ ．
∴
=
=
【解析】（Ⅰ）依题意有﹣2＜a＜13，利用作差法可比较M，P，Q中M最大，而P，Q的大小需要根据a的范围来确定，结合等差数列及对数的运算性质可求出满足题意的a及通项（Ⅱ）由等差数列的性质可得，2an+1=an+an+2 ， 由f（x）=0时，（x+1）（anx+an+2）=0，从而可求得 ，结合an=n﹣2lg2＞0，可得bn ， 然后代入，利用裂项求和即可
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握等差数列的性质(在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列)的相关知识才是答题的关键．