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    设函数f(ex)＝ex，g(x)－(x＋1)(e＝2.718……)

    (1)求函数g(x)的极大值

    (2)求证1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)(n∈N*)

    (3)若h(x)＝x2，曲线y＝h(x)与y＝f(x)是否存在公共点，若存在公共点，在公共点处是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由．

    答案：
    解析：

    　　(1)

    　　g(x)＝lnx－(x＋1)

    　　当0＜x＜1时，＞0

    　　当x＞1时，＜0

    　　所以g(x)极大值＝g(1)＝－2　3分

    　　(2)由(1)知，x＝1是极大值点，也是最大值点，

    　　所以g(x)≤g(1)＝－2

    　　即lnx－(x＋1)≤－2，lnx≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立)

    　　令u＝x－1，得u≥ln(u＋1)，取u＝

    　　　8分

    　　(3)令F(x)＝h(x)－f(x)＝－elnx(x＞0)

    　　

    　　　12分


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    科目：高中数学 来源：2007年普通高等学校招生全国统一考试、理科数学(福建卷) 题型：044

    已知函数f(x)＝ex－kx，

    (1)若k＝e，试确定函数f(x)的单调区间；

    (2)若k＞0，且对于任意x∈R，f(|x|)＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；

    (3)设函数F(x)＝f(x)＋f(－x)，求证：F(1)F(2)…F(n)＞．

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    科目：高中数学 来源：2013年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理数 题型：013

    已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则

    [　　]

    A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值

    B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值

    C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值

    D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值

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    科目：高中数学 来源：福建省厦门市翔安一中2012届高三11月月考数学理科试题 题型：044

    已知函数f(x)＝ex－kx，x∈R

    (1)若k＝e，试确定函数f(x)的单调区间；

    (2)若k＞0，且对于任意x∈R，f(|x|)＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；

    (3)设函数F(x)＝f(x)＋f(－x)，求证：F(1)F(2)…F(n)＞(en+1＋2)(n∈N*)．

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    科目：高中数学 来源：四川省南充高中2012届高三第十六次月考数学理科试题 题型：044

    设函数f(x)＝x2－mx－mlnx．

    (1)设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

    ①求f(x)的最值；

    ②若数列{an}满足a1＞e＋1(e为自然对数的底数)，an+1＝f(an)＋1，n∈N*，求证：．

    (2)设方程x＋lnx＝0的实根为x0．

    求证：对任意，存在使f(x)＞x2－ln(1＋ex)成立．

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