Question

【题目】如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．设∠DAB=θ（0＜θ＜ ），L为等腰梯形ABCD的周长．
（1）求周长L与θ的函数解析式；
（2）试问周长L是否存在最大值？若存在，请求出最大值，并指出此时θ的大小；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接BD，则∠ADB=90°，

∴AD=BC=4cosθ．

作DE⊥AB于M，CN⊥AB于N，

得AM=BN=ADcosθ=4cos2θ，

∴DC=AB﹣2AM=4﹣8cos2θ．

∴△ABC的周长L=AB+2AD+DC=4+8cosθ+（4﹣8cos2θ）=8+8cosθ﹣8cos2θ．

（2）解：令t=cosθ，由 ，知t∈（0，1）．

则 ，

当t= ，即 ， 时，L有最大值10．

∴当θ=60°时，L存在最大值10

【解析】（1）由于AB是圆O的直径，所以三角形ABD是直角三角形，连BD，过D作DE⊥AB于E，则由射影定理可知AD2=AEAB，从而可用腰长表示上底长，进而可求梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式，根据上底长，可确定函数的定义域；（2）令t=cosθ，由 ，知t∈（0，1）．利用配方法可知函数函数在（0， ）上单调递增，在（ ，1）单调递减，由此可求周长y的最大值．