Question

已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P（2，1）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程；
（3）过点Q（1，1）作直线交抛物线于A，B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的标准方程为 x²=2py，把点P（2，1）代入可得 p 值，从而求得抛物线的标准方程．
（2）当斜率不存在时，直线方程为x=2 符合题意；当斜率存在时，先设直线方程并联立抛物线方程，得出△=0，即可求出结果．
（3）由题意可知，AB的斜率存在，设AB的方程为 y-1=k（x-1），代入抛物线的标准方程化简，由x₁+x₂=2，求得k的值，从而得到AB的方程．

解答：解：（1）设抛物线的标准方程为  x²=2py，把点P（2，1）代入可得 4=2p，∴p=2，
故所求的抛物线的标准方程为x²=4y．
（2）i当斜率不存在时，直线方程为x=2 符合题意
ii当斜率存在时，设直线方程为：y-1=k（x-2）即y=kx-2k+1
联立方程可得，

y=kx-2k+1 x2=4y

整理可得x²-4kx+8k-4=0
∵直线与抛物线只有一个公共点
∴△=16k²-32k+16=0
∴k=1
综上可得，x-y-1=0，x=2，
（3）由题意可知，AB的斜率存在，设AB的方程为 y-1=k（x-1），代入抛物线的标准方程为x²=4y 可得
x²-4kx+4k-4=0，∴x₁+x₂=4k=2，∴k=

1

2

，∴AB的方程为 y-1=

1

2

（x-1），
即x-2y+1=0．

点评：本题考查抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，线段的中点公式的应用，得到 x₁+x₂=4k=2，是解题的关键．