Question

20、下表给出一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，a_ij表示位于第i行第j列的数．
（I）写出a₄₅的值；
（II）写出a_ij的计算公式；
（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．

Answer 1

分析：（1）先根据图象和每行、每列都是等差数列得到a₄₅的值．
（2）先根据第一行的前两个数求出第一行的通项公式，同理可得第二行的通项公式，进而求出第i行的首项和公差得到通项公式．
（3）必要性：先假设N在该等差数阵中，则一定存在正整数i，j使得N=i（2j+1）+j成立，再得到2N+1的关系式后进行整理即可得得证．充分性：先假设2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，根据2N+1是奇数可以分解为两个不是1的奇数之积，表示出来即可得证．

解答：解：（I）a₄₅=49．

（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a_1j=4+3（j-1），
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a_2j=7+5（j-1），
第i行是首项为4+3（i-1），公差为2i+1的等差数列，因此
a_ij=4+3（i-1）+（2i+1）（j-1），
=2ij+i+j=i（2j+1）+j．

（III）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得N=i（2j+1）+j，
从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），
从而N=k（2l+1）+l=a_kl，
可见N在该等差数阵中．
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．

点评：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．