Question

【题目】某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准如下：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知某学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了了解该校学生的成绩，抽取了50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出样本频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求图中x的值，并根据样本数据估计该校学生学业水平测试的合格率；
（Ⅱ）在选取的样本中，从70分以下的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中成绩为D等级的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，

∴x＝0.004．

∴合格率为1－10×0.004＝0.96．

（Ⅱ）样本中C等级的学生人数为0.012×10×50＝6，

而D等级的学生人数为0.004×10×50＝2．

∴随机抽取3人中，成绩为D等级的人数X的可能取值为0，1，2，

∴ ， ， ，

∴X的分布列为

x	0	1	2
P

数学期望

【解析】（Ⅰ）样本中各类事件的频率之和等于1，并注意纵坐标表示的是频率除以组距，因此在求频率时需要乘以组距，由此可列等式10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1;
（Ⅱ）70分以下的学生包括C等级的学生和D等级的学生，并且样本中某事件发生的总数为频率乘以样本总量，由此可求得样本中C等级的学生人数为0.012×10×50＝6，而D等级的学生人数为0.004×10×50＝2，70分以下的学生人数为6+2=8人；从70分以下的学生中随机抽取的3名学生中，成绩为D等级的人数可能为0、1、2,由此求出答案.
【考点精析】认真审题，首先需要了解频率分布直方图(频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息)．