如图.在直角坐标系xOy中.有一组对角线长为an的正方形AnBnCnDn.其对角线BnDn依次放置在x轴上．设{an}是首项为a.公差为d的等差数列.点B1的坐标为(d.0)．(1)当a=8.d=4时.证明:顶点A1.A2.A3不在同一条直线上,的条件下.证明:所有顶点An均落在抛物线y2=2x上,(3)为使所有顶点An均落在抛物线y2=2px上.求a与d之间所应满足的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2009•上海）如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为a_n的正方形A_nB_nC_nD_n（n=1，2，…），其对角线B_nD_n依次放置在x轴上（相邻顶点重合）．设{a_n}是首项为a，公差为d（d＞0）的等差数列，点B₁的坐标为（d，0）．
（1）当a=8，d=4时，证明：顶点A₁、A₂、A₃不在同一条直线上；
（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点A_n均落在抛物线y²=2x上；
（3）为使所有顶点A_n均落在抛物线y²=2px（p＞0）上，求a与d之间所应满足的关系式．

分析：（1）求出A₁A₂、A₁A₃的斜率，利用斜率不相等，即可得到结论；
（2）确定顶点A_n的横坐标、纵坐标，即可证得结论；
（3）顶点A_n的横、纵坐标，消去n-1，利用所有顶点A_n均落在抛物线y²=2px（p＞0）上，即可求a与d之间所应满足的关系式．

解答：（1）证明：由题意可知，A₁（8，4），A₂（18，6），A₃（32，8），
∴kA1A2=

6-4

18-8

，kA1A3=

8-6

32-18

．
∵kA1A2≠kA1A3，
∴顶点A₁、A₂、A₃不在同一条直线上；
（2）证明：由题意可知，顶点A_n的横坐标xn=d+a1+a2+…+an-1+

an=2（n+1）²，
顶点A_n的纵坐标yn=

an=2(n+1)．
∵对任意正整数n，点A_n（x_n，y_n）的坐标满足方程y²=2x，
∴所有顶点A_n均落在抛物线y²=2x上．
（3）解：由题意可知，顶点A_n的横、纵坐标分别是xn=d+

(n-1)2d，yn=

[a+(n-1)d]
消去n-1，可得xn=

yn2+d+

a(d-a)

为使得所有顶点A_n均落在抛物线y²=2px（p＞0）上，则有

=2p

a(d-a)

解之，得d=4p，a=8p．
∴a，d所应满足的关系式是：a=2d．

点评：本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．

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