Question

18．已知sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，θ∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），求sinθ•cosθ，sin2θ，cos2θ，sinθ，cosθ的值．

Answer 1

分析 由条件平方可得sinθcosθ，由角的范围可得sinθ-cosθ＞0，根据sin²θ+cos²θ=1，求得sinθ-cosθ的值，与已知等式联立可求sinθ、cosθ的值，可得sin2θ，cos2θ的值．

解答 解：∵sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$①，
∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，解得：sinθcosθ=-$\frac{12}{25}$，
∵θ∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），sinθ＞0，cosθ＜0，sinθ-cosθ＞0，
∵sin²θ+cos²θ=1，sinθ-cosθ=$\sqrt{（sinθ-cosθ）^{2}}$=$\sqrt{1-2sinθcosθ}$=$\frac{7}{5}$②，
∴由①②解得：sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$，
∴sin2θ=2sinθcosθ=-$\frac{24}{25}$，
cos2θ=cos²θ-sin²θ=-$\frac{7}{25}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，考查了二倍角公式的应用，属于中档题．