Question

【题目】已知等比数列满足，数列满足.

(1)求数列， 的通项公式；

(2)令，求数列的前项和；

(3)若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）， ;（2）（3）见解析

【解析】试题分析：

(1)首先由题意求得首项和公比，则数列的通项公式是，然后利用递推关系可得的通项公式是;

(2)错位相减可得数列的前项和；

(3)结合(1)(2)的结论可得数列为单调递减数列，然后结合恒成立的条件可得.

试题解析：

（1）设等比数列的公比为，

由，得，所以

故数列是以2为首项， 为公比的等比数列，所以

因为，所以，

所以是首项为1，公差为2的等差数列

所以，

（2）因为，

③

所以④

③﹣④得

所以

（3）证明：由（1）知，

因为

所以数列为单调递减数列

当时， ，即得最大值为1

由，所以

而当时， ，当且仅当时取等号

故.