Question

已知定义在（-1，1）上的f（x）满足：对?x，y∈（-1，1），均有f（x）+f（y）=f(

x+y

1+xy

)，且x＞0时，f（x）＞0，则函数y=f（x）在定义域上的奇偶性与增减性为（　　）

A．奇函数且增函数

B．偶函数且增函数

C．奇函数且减函数

D．偶函数且减函数

Answer 1

分析：要判定函数f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）与f（x）的关系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x即可判定，最后根据函数单调性的定义进行判定单调性．

解答：解：∵f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴令y=-x，f（-x）+f（x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
当-1＜x＜y＜1时，
∵f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（

x-y

1-xy

），且

x-y

1-xy

＜0，
∵x＞0时，f（x）＞0，因为f（x）为奇函数，若x＜0，可得-x＞0，f（-x）＞0，-f（x）＞0，可得f（x）＜0，

∴f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）＜0，可得f（x）＜f（y），
∴f（x）为增函数，
∴f（x）为奇函数且为增函数，
故选A；

点评：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性性，属于中档题，函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质，单调性是函数的“局部”性质．