Question

已知数列{a_n}，{b_n}分别为等差和等比数列，且a₁=1，d＞0，a₂=b₂，a₅=b₃，a₁₄=b₄（n∈N^*）．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，a₂，a₅，a₁₄成等比数列，结合等比数列的性质及等差数列的通项公式可求公差d，进而可求
a_n，然后结合已知可求等比数列的公比，代入bn=b2qn-2可求
（2）设c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3^n-1，结合数列的项的特点，考虑利用错位相减求和

解答：解：（1）∵a₂=b₂，a₅=b₃，a₁₄=b₄，b₂，b₃，b₄成等比数列
∴a₂，a₅，a₁₄成等比数列
∵a₁=1
∴（1+d）（1+13d）=（1+4d）²
∵d＞0
解可得d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
∵a₂=b₂=3，a₅=b₃=9
∴q=3，bn=b2qn-2=3•3^n-2=3^n-1
（2）设c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3^n-1
∴s_n=1•3⁰+3•3+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1
3s_n=1•3+3•3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ
两式相减可得，-2s_n=1+2（3+3²+…+3^n-1-（2n-1）•3ⁿ
=1+2•

3(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)•3n
=3ⁿ-2-（2n-1）•3ⁿ
∴sn=(n-1)•3n+1

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式、等比数列的通项公式的应用及数列的错位相减求和方法的应用