Question

已知椭圆具有性质：若是椭圆：且为常数上关于原点对称的两点，点是椭圆上的任意一点，若直线和的斜率都存在，并分别记为，，那么与之积是与点位置无关的定值．
试对双曲线且为常数写出类似的性质，并加以证明．

Answer 1

双曲线类似的性质为：若是双曲线且为常数上关于原点对称的两点，点是双曲线上的任意一点，若直线和的斜率都存在，并分别记为，，那么与之积是与点位置无关的定值．

试题分析：双曲线类似的性质为：若是双曲线且为常数上关于原点对称的两点，点是双曲线上的任意一点，若直线和的斜率都存在，并分别记为，，那么与之积是与点位置无关的定值．
证明：设，，则，
且①，②，
两式相减得：，
所以是与点位置无关的定值．
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题主要运用双曲线的几何性质。（2）作为研究直线的斜率乘积是否为定值问题，应用韦达定理，通过“整体代换”，简化了探究过程。