Question

（2010•武汉模拟）给定项数为m（m∈N^*，m≥3）的数列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，…m）．若存在一个正整数k（2≤k≤m-1），若数列{a_n}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{a_n}是“k阶可重复数列”．例如数列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0．因为a₁，a₂，a₃，a₄与a₄，a₅，a₆，a₇按次序对应相等，所以数列{a_n}是“4阶可重复数列”．假设数列{a_n}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项a_m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a₄=1，数列{a_n}的最后一项a_m=

1

．

Answer 1

分析：利用反证法证明a₄=a_m=1．假设如果a₁，a₂，a₃，a₄与a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m不能按次序对应相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3、a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3与a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序对应相等．考虑a_i-1，a_j-1和a_m-4，其中必有两个相同，这就导致数列{a_n}中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{a_n}是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{a_n}不是“5阶可重复数列”矛盾得证．

解答：解：由于数列{a_n}在其最后一项a_m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{a_n}的末项a_m后再添加一项0或1，则存在i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3，a_i+4与a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，0按次序对应相等，或a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3，a_j+4与a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，1按次序对应相等，
如果a₁，a₂，a₃，a₄与a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m不能按次序对应相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3、a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3与a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序对应相等．
此时考虑a_i-1，a_j-1和a_m-4，其中必有两个相同，这就导致数列{a_n}中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{a_n}是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{a_n}不是“5阶可重复数列”矛盾；
所以a₁，a₂，a₃，a₄与a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序对应相等，
从而a_m=a₄=1．
故答案为1

点评：本题以数列为载体，考查新定义，考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示的能力．