【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD 都是边长为2的等边三角形,E 是BC的中点.
(Ⅰ)证明:平面AE∥平面 PCD;
(Ⅱ)求PAB与平面 PCD 所成二面角的大小.
【答案】解:(Ⅰ)证明:,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,E 是BC的中点. 所以AD∥CE,且AD=CE
所以四边形ADCE是平行四边形,
所以AE∥CD,
AE平面PCD,CD平面PCD,
∴AE∥平面 PCD;
(Ⅱ)连接DE,BD,设AE∩BD=O,连接PO,则四边形ABED是正方形,所以AE⊥BD,
因为,△PAB与△PAD 都是边长为2的等边三角形,PD=PB=2,O是BD的中点 所以PO⊥BD,
则PO= ,又OA= ,PA=2,所以PO⊥AO,
因为BD∩AE=O,所以PO⊥平面ABCD,
建立如图所示的坐标系,
则P(0,0, ),A(- ,0,0),B(0, ,0),E( ),D(0,﹣ ),
所以 =( ), , , =( ),
设 =(x,y,z)是平面PAB的法向量,则 可得 ,令x=1,则 =(0,﹣1,﹣1).
设 =(x,y,z)是平面PCD的法向量,则 可得 ,
令y=1,则 =(0,1,﹣1).
所以cos = =0.
所以平面PAB与平面 PCD 所成二面角的大小为90°.
【解析】(Ⅰ)证明AD∥CE,且AD=CE,推出AE∥CD,然后证明AE∥平面 PCD;(Ⅱ)连接DE,BD,证明AE⊥BD,PO⊥BD,PO⊥AO,PO⊥平面ABCD,建立坐标系,求出相关点坐标,求出平面PAB的法向量,平面PCD的法向量,利用空间向量的数量积求解平面PAB与平面 PCD 所成二面角的大小.
【考点精析】本题主要考查了直线平面平行的判定的相关知识点,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能正确解答此题.
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【题目】设数列{an}满足an+1=an2﹣an+1(n∈N*),Sn为{an}的前n项和.证明:对任意n∈N* ,
(I)当0≤a1≤1时,0≤an≤1;
(II)当a1>1时,an>(a1﹣1)a1n﹣1;
(III)当a1= 时,n﹣ <Sn<n.
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【题目】设函数f(x)=a2lnx+ax(a≠0),g(x)= 2tdt,F(x)=g(x)﹣f(x).
(1)试讨论F(x)的单调性;
(2)当a>0时,﹣e2≤F(x)≤1﹣e在x∈[1,e]恒成立,求实数a的取值.
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【题目】在队内羽毛球选拔赛中,选手M与B1 , B2 , B3三位选手分别进行一场对抗赛,按以往多次比赛的统计,M获胜的概率分别为 ,且各场比赛互不影响.
(1)若M至少获胜两场的概率大于 ,则M入选下一轮,否则不予入选,问M是否会入选下一轮?
(2)求M获胜场数X的分布列和数学期望.
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【题目】己知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)为奇函数,f(0)=0,当x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则在区间(8,9)内满足方f(x)程f(x)+2=f( )的实数x为 ( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】设f(x)=xex(e为自然对数的底数),g(x)=(x+1)2 .
(I)记 ,讨论函F(x)单调性;
(II)令G(x)=af(x)+g(x)(a∈R),若函数G(x)有两个零点.
(i)求参数a的取值范围;
(ii)设x1 , x2是G(x)的两个零点,证明x1+x2+2<0.
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【题目】如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD= AD,AE⊥PC于点E,EF∥CD,交PD于点F (Ⅰ)证明:平面ADE⊥平面PBC
(Ⅱ)求二面角D﹣AE﹣F的余弦值.
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