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【题目】已知函数f(x)=1nx.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求证:当x>0时,
(Ⅲ)若x﹣1>a1nx对任意x>1恒成立,求实数a的最大值.

【答案】解:(Ⅰ) ,f'(1)=1,
又f(1)=0,所以切线方程为y=x﹣1;
(Ⅱ)证明:由题意知x>0,令 =
,解得x=1.
易知当x>1时,g'(x)>0,易知当0<x<1时,g'(x)<0.
即g(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,
所以g(x)min=g(1)=0,g(x)≥g(1)=0
,即x>0时,
(Ⅲ)设h(x)=x﹣1﹣a1nx(x≥1),
依题意,对于任意x>1,h(x)>0恒成立.
,a≤1时,h'(x)>0,h(x)在[1,+∞)上单调递增,
当x>1时,h(x)>h(1)=0,满足题意.
a>1时,随x变化,h'(x),h(x)的变化情况如下表:

x

(1,a)

a

(a,+∞)

h'(x)

0

+

h(x)

极小值

h(x)在(1,a)上单调递减,所以g(a)<g(1)=0
即当a>1时,总存在g(a)<0,不合题意.
综上所述,实数a的最大值为1
【解析】(Ⅰ)求出导函数 ,求出斜率f'(1)=1,然后求解切线方程.(Ⅱ)化简 = .求出 ,令 ,解得x=1.判断函数的单调性求出极小值,推出结果.(Ⅲ)设h(x)=x﹣1﹣a1nx(x≥1),依题意,对于任意x>1,h(x)>0恒成立. ,a≤1时,a>1时,判断函数的单调性,求解最值推出结论即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题.

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