Question

（13分）已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点。

（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；

（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正切值；

（Ⅲ）求二面角P一EC一D的正切值。

Answer 1

解：（Ⅰ）取PC的中点O，连结OF、

 OE．∴FO∥DC，且FO=DC  ∴FO∥AE

又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE．

∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE  又OE平面PEC，AF平面PEC  ∴AF∥平面PEC

（Ⅱ）连结AC

∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平

面ABCD所成的角

在Rt△PAC中，即直线PC与平面ABCD所成的角正切为

（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连结PM，由三垂线定理．得PM⊥CE∴∠PMA是二面角P—EC—D的平面角 

由△AME∽△CBE，可得，∴

∴二面角P一EC一D的正切为

解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系，

则A（0．0，0），B（2，0，0），C（2，l，0），

D（0，1，0），F（0，，），E（1，0，0），

P（0，0，1）

（Ⅰ）取PC的中点O，连结OE，则O（1，，），

∴  

又OE平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC

（Ⅱ）由题意可得，平面ABCD的法向量

即直线PC与平面ABCD所成的角正切大小为。

（Ⅲ）设平面PEC的法向量为

则，可得，令，则

由（2）可得平面ABCD的法向量是

∴二面角P一EC一D的正切大小为。