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18.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴为正半轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-2sinθ,直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=\frac{1}{2}+at}\end{array}\right.$(t为参数,a为常数).
(1)求直线l普通方程与圆C的直角坐标方程;
(2)若直线l分圆C所得的两弧长度之比为1:2,求实数a的值.

分析 (1)利用极坐标公式,把极坐标方程化为普通方程,消去参数t,把参数方程化为普通方程;
(2)根据题意,得出直线l被圆C截得的弦所对的圆心角为120°,圆心C到直线l的距离d=$\frac{1}{2}$r,由此列出方程求出a的值.

解答 解:(1)圆C的极坐标方程ρ=4cosθ-2sinθ可化为ρ2=4ρcosθ-2ρsinθ,
利用极坐标公式,化为普通方程是x2+y2=4x-2y,
即(x-2)2+(y+1)2=5;
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=\frac{1}{2}+at}\end{array}\right.$,
消去参数t,化为普通方程是y=$\frac{1}{2}$-ax;
(2)圆C的方程为(x-2)2+(y+1)2=5,圆心C为(2,-1),半径r=$\sqrt{5}$,
直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$-ax,即ax+y-$\frac{1}{2}$=0,
直线l将圆C分成弧长之比为1:2的两段圆弧,
∴直线l被圆截得的弦所对的圆心角为120°,
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{1}{2}$r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
即$\frac{|2a-1-\frac{1}{2}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
整理得11a2-24a+4=0,
解得a=2或a=$\frac{2}{11}$.

点评 本题考查了参数方程与极坐标的应用问题,也考查了直线与圆的应用问题,由题意得出圆心C到直线l的距离d等于半径r的一半是解题的关键.

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