Question

11．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若$\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{BC}$，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． 5
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把B，C表示出来，再$\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{BC}$，求出a，b，c，然后求双曲线的离心率．

解答 解：因为F（c，0），
所以过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线为：y=x-c，
渐近线的方程是：y=±$\frac{b}{a}$x，
由 $\left\{\begin{array}{l}y=x-c\\ y=\frac{b}{a}x\end{array}\right.$得：B（$\frac{ac}{a-b}$，$\frac{bc}{a-b}$），
由 $\left\{\begin{array}{l}y=x-c\\ y=-\frac{b}{a}x\end{array}\right.$得，C（$\frac{ac}{a+b}$，-$\frac{bc}{a+b}$），
所以 $\overrightarrow{FB}$=（c-$\frac{ac}{a-b}$，-$\frac{bc}{a-b}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{ac}{a+b}$-$\frac{ac}{a-b}$，-$\frac{bc}{a+b}$-$\frac{bc}{a-b}$），
又 $\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{BC}$，解得：b=3a，
所以由a²+b²=c²得，10a²=c²，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意两点间距离公式的合理运用．