Question

已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．
（1）求抛物线和椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，则
是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

Answer 1

(1) ,;(2)-1.

解析试题分析：(1)根据抛物线的焦点坐标满足圆的方程确定等量关系，求解抛物线方程；根据椭圆的焦点和右定点也在圆上，确定椭圆方程；（2）利用已知的向量关系式进行坐标转化求出，然后通过直线与抛物线方程联立，借助韦达定理进行化简并求值.
试题解析：（1）由抛物线的焦点在圆上得：，，∴抛物线                           3分
同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得：．
得椭圆．                                              6分
（2）是定值，且定值为－1．
设直线的方程为，则．
联立方程组，消去得：
且   ,                        9分
由得：
整理得：,
．               14分
考点：1.抛物线和椭圆的方程；（2）直线与抛物线的位置关系；（3）向量的坐标运算.