Question

5．设函数f（x），g（x）的定义域分别为D_f，D_g，且D_f?D_g，若对于任意x∈D_f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D_g上的一个延拓函数．设f（x）=2^x，x∈（-∞，0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数．
（1）若g（x）是奇函数，则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）若g（x）满足：①当x≥0，g（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$；
②值域为（0，2）；
③对于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{x}-{x}_{2}}$＞0，
则实数a，b的取值分别为2，1．

Answer 1

分析 （1）分段求出函数g（x）的表达式，再综合得g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）根据题设可得，g（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$的取值能包含[1，2），且g（0）=1，当x→+∞时，g（x）=$\frac{a+\frac{b}{x}}{1+\frac{1}{x}}$→a=2．

解答 解：（1）因为g（x）为f（x）的延拓函数，且g（x）为奇函数，所以，
①当x＜0时，g（x）=f（x）=2^x，②当x=0时，g（x）=0，③当x＞0时，g（x）=-f（-x）=-2^-x，
综合以上讨论得，所以，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）当x＜0时，g（x）=f（x）=2^x∈（0，1），且x→0时，g（x）→1，
由于g（x）的值域为（0，2），
所以，当x≥0时，g（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$的取值能包含[1，2），
又∵对于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{x}-{x}_{2}}$＞0，
∴g（x）在R上单调递增，所以，g（0）=1，解得b=1，
当x→+∞时，g（x）=$\frac{a+\frac{b}{x}}{1+\frac{1}{x}}$→a，故a=2，
因此，当x≥0时，g（x）=$\frac{ax+b}{x+1}$=$\frac{2x+1}{x+1}$．
故答案为：（1）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$；（2）a=2，b=1．

点评 本题主要考查了函数性质的综合应用，涉及函数的奇偶性，解析式，单调性，值域，以及分段函数的表示，属于中档题．