Question

(本小题满分14分)

E

如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面

A

所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，

D

C

B

 (Ⅰ)求证：平面⊥平面；

(Ⅱ)在棱上是否存在一点，使？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 平面⊥平面

(Ⅱ) E是PD中点，存在E点使得CE//面PAB

【解析】解：不妨设PA = 1.

(Ⅰ)由题意 PA = BC = 1, AD = 2．

∵ PA⊥面ABCD，∴ PB与面ABCD所成的角为∠PBA = 45°．………………2分

∴ AB = 1，由∠ABC = ∠BAD = 90°，易得CD = AC = ．

由勾股定理逆定理得 AC⊥CD．……………………3分

又∵ PA⊥CD, PA∩AC = A，∴ CD⊥面PAC,……………………5分

又CD Ì 面PCD，

z

∴ 面PAC⊥面PCD．……………………7分

P

(Ⅱ)分别以AB, AD, AP所在直线分别为x轴, y轴, z轴

E

建立空间直角坐标系．

∴ P(0, 0, 1), C(1, 1, 0), D(0, 2, 0)．………… 8分

 

 

 

 

设，则,．…………………… 9分

∵，∴ y·(－1)－2 (z－1) = 0 … ①…………………………… 10分

是平面的法向量，…………………………… 11分

又，由，∴．…………………………… 12分

∴，∴ y = 1，代入①得z = ． …………………13分

∴ E是PD中点，∴ 存在E点使得CE//面PAB．    …………………… 14分