Question

【题目】下面左图是我省某地斜拉式大桥的图片，合肥一中学数学兴趣小组对大桥有关数据进行了测量，并将其简化为右图所示.其中桥塔AB，CD与桥面AC垂直，若.

（1）当时，试确定点P在线段AC上的位置，并写出求解过程；

（2）要使得达到最大，试问点P在线段AC上何处？请写出求解过程.

Answer 1

【答案】(1)的位置在的中点处，过程见详解；(2).

【解析】

（1）设，，在直角三角形中表示出，再利用和角公式即可求得，则问题得解；

（2）建立与之间的函数关系，利用均值不等式求函数最大值即可.

（1）设，，，

则

因为，故可得，

在中，，

在中，，

故，

即可得，

整理得，

解得或（舍）.

故当时，点的位置在的中点处.

（2）由（1）可知，

整理得，

因为，

故，即可得为锐角，

令，则，

故

则

当且仅当时，即时，

也即时，取得最大值，也最大.

故要使得达到最大，只需即可.