Question

如图P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为

1

2

的半圆后得到图形P₂，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P₃、P₄、…、P_n…，记纸板P_n的面积为S_n，则

lim

n→∞

Sn=

 

．

Answer 1

分析：由已知每次剪掉的半圆形面积构成一个等比数列，根据已知不难求出该数列的首项和公比，代入等比数列前n项和公式，易得剪去的所有半圆的面积和，从而得到最后纸板P_n的面积．

解答：解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以

π

8

为首项，以

1

4

为公比的等比数列，
则

lim

n→∞

a₁+a₂+…+a_n=

π 8

1- 1 4

=

π

6

故：

lim

n→∞

Sn=

π

2

-

π

6

=

π

3

故答案为：

π

3

点评：本题考查的知识点其实是一种极限思想，当一个等比数列的|q|＜1时，

lim

n→∞

qn=0，则

lim

n→∞

a₁+a₂+…+a_n=

a1

1-q

．