Question

（2013•石家庄二模）选修4-1：几何证明选讲
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，以AB为直径做圆0交AC于点D．
（Ⅰ）求线段CD的长度；
（Ⅱ）点E为线段BC上一点，当点E在什么位置时，直线ED与圆0相切，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）由勾股定理易求得AB的长；可连接BD，由圆周角定理知AD⊥BD，易知△ABC∽Rt△BDC，可得关于AC、CD、BC的比例关系式，即可求出CD的长．
（II）当ED与⊙O相切时，由切线长定理知ED=EB，则∠EBD=∠EDB，那么∠OBD和∠ODB就是等角的余角，由此可证得BE=CE，即E是BC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．

解答：解：（Ⅰ）连结BD，在直角三角形ABC中，易知AC=5，∠BDC=∠ADB=90°，…（2分）
所以∠BDC=∠ABC，又因为∠C=∠C，所以△ABC∽Rt△BDC，
所以

CD

BC

=

BC

AC

，所以CD=

BC2

AC

=

9

5

．…（5分）
（Ⅱ）当点E是BC的中点时，ED与⊙O相切；
证明：连接OD，
∵DE是Rt△BDC的中线；
∴ED=EB，
∴∠EBD=∠EDB；
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB；
∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=∠OBD+∠EBD=∠ABC=90°；
∴ED⊥OD，
∴ED与⊙O相切．

点评：此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识．