Question

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

(1)求证：AE⊥平面BCE；

(2)求二面角B-AC-E的大小；

(3)求点D到平面ACE的距离.

Answer 1

解法一：(1)证明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE.?

∵二面角DABE为直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE.?

∴CB⊥AE.?

∴AE⊥平面BCE.?

(2)连结BD交AC于G，连结FG，?

∵正方形ABCD边长为2，?

∴BG⊥AC,BG=.?

∵BF⊥平面ACE，?

由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC,?

∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角.?

由(1)AE⊥平面BCE，?

又∵AE=EB,?

∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.?

又∵直角△BCE中，,BF=,?

∴直角△BFG中，sin∠BGF=.?

∴二面角B-AC-E等于arcsin.?

(3)过点E作EO⊥AB交AB于点O，OE=1.?

∵二面角D-AB-E为直二面角，?

∴EO⊥平面ABCD.?

设D到平面ACE的距离为h,?

∵V_D—ACE=V_E—ACD?,?

∴S_△ACB?•h=S_△ACD?•EO.?

∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC.?

∴h=.?

∴点D到平面ACE的距离为.?

解法二：(1)同解法一.?

(2)以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点且平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz,如图.?

?

∵AE⊥面BCE，BE面BCE，?

∴AE⊥BE.?

在Rt△AEB中，AB=2，O为AB的中点，∴OE=1.?

∴A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).?

=(1,1,0),=(0,2,2).?

设平面AEC的一个法向量为n=(x,y,z),?

则即解得

令x=1,得n=(1,-1,1)是平面AEC的一个法向量.?

又平面BAC的一个法向量为m=(1,0,0),?

∴cos〈m,n〉=.?

∴二面角B-AC-E的大小为arccos.?

(3)∵AD∥z轴，AD=2，?

∴=(0,0,2).?

∴点D到平面ACE的距离?

d=|||cos〈,n〉|=?

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