Question

（本小题共13分）
如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。

（Ⅰ）求证：     
(Ⅱ) 求证：
（Ⅲ）在线段AB上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)根据三角形的中位线，那么可以// ，然后结合线面平行的判定定理可知结论。
(2)结合已知中正方形的心智，以及，结合线面垂直的性质定理得到线线垂直。
(3)

解析试题分析：（Ⅰ） , 点E为的中点,连接。
的中位线// ……2分
又
                            ……4分
（II） 正方形中, 
由已知可得：， …….6分
,                        …….7分

                                        …….8分
（Ⅲ）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
      9分
设
             10分
设平面的法向量为
则 
得            11分
取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为               12分
要使二面角的大小为         
而   
解得：
当=时，二面角的大小为   13分
考点：空间中的线面平行和线线垂直以及二面角的求解
点评：解决平行和垂直的证明，一般要用到判定定理和性质定理，然后结合空间向量法来求解二面角，属于基础题。