Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和S_n满足，并且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求证：．

Answer 1

解：（1）当n=1时，，∴a₁=1或a₁=2
当n≥2时，①
∵
∴①-②，并整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0
∵数列{a_n}的各项均为正数
∴a_n-a_n-1=3
当a₁=1时，a_n=3n-2，此时满足a₂，a₄，a₉成等比数列．
当a₁=2时，a_n=3n-1，此时不满足a₂，a₄，a₉成等比数列
∴a_n=3n-2
（2）根据（1）的结论可得
∴=
∴
分析：（1）先利用条件，求出数列的首项，再利用当n≥2时，，可求数列的通项，利用a₂，a₄，a₉成等比数列，求出满足条件的数列的通项．
（2）利用（1）的结论，先进行放缩，再利用裂项法可求数列{b_n}的前n项和，从而得证．
点评：本题以数列的前n项和为载体，考查数列通项的求解，考查放缩法，考查裂项法求和，解题的关键是适度放缩，再利用裂项法．