Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， ，且 ．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若 ，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由条件及正弦定理，

得：（sinC﹣sin2A）sinB=（sinC﹣sinB）sin2A，

即sinCsinB﹣sin2AsinB=sinCsin2A﹣sinBsin2A，

∴sinCsinB=sinCsin2A，又sinC≠0，

∴sinB=sin2A，

∴B=2A，或B+2A=π，

①当B=2A时，

∵ ，

∴B+A=3A＞π导出矛盾，则B=2A应舍去．

②当B+2A=π时，又A+B+C=π，

∴A=C合理，

综上判断△ABC为等腰三角形

（2）解：在等腰△ABC中，取AC的中点D，

由 得|BD|=3，

又由（1）知 ，

则 =

【解析】（1）根据正弦定理将等式进行边角互化后得：（sinC﹣sin2A）sinB=（sinC﹣sinB）sin2A，整理后可得sinCsinB=sinCsin2A，又sinC≠0，

即sinB=sin2A，B=2A，或B+2A=π综上可判断出△ABC为等腰三角形，（2）取AC的中点为D，由等式得出BD=3，由向量的数量积公式表示出，从而得到取值范围.