Question

关于x的方程ax³-x²+x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个实数解，则a的取值范围为________．

Answer 1

a≤0或a=
分析：原条件?a=--有且仅有一个正实数解，令=t（t≠0），t的符号与x的符号一致，则a=-t³-t²+t有且仅有一个正实数解，然后通过导数研究函数的单调性和极值，画出函数图象，结合图象可求出a的取值范围．
解答：关于实数x的方程ax³-x²+x+1=0的所有解中，仅有一个正数解?a=--有仅有一个正实数解．
令=t（t≠0），t的符号与x的符号一致，则a=-t³-t²+t有且仅有一个正实数解，
令f（t）=-t³-t²+t（t≠0），
f′（t）=-3t²-2t+1，由f′（t）=0得t=或t=-1．
又t∈（-1，）时，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（，+∞）时，f′（t）＜0．所以[f（t）]_极大值=f（）=．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
结合三次函数图象，如图．
综上所述，实数a的取值范围为a≤0或a=．
故答案为：a≤0或a=．
点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，以及三次函数的性质，同时考查了数形结合与函数方程的思想，属于中档题．