Question

（2012•青浦区一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别a、b、c，已知a+b=5，c=

7

，且sin²2C+sin2C•sinC-2sin²C=0．
（Ⅰ） 求角C的大小；
（Ⅱ） 求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将已知的等式左边第一、二项利用二倍角的正弦函数公式化简，提取2sin²C分解因式，由C为三角形的内角，得到sinC不为0，得到sin²C不为0，进而得到关于cosC的式子为0，求出cosC的值，再由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）由C的度数求出cosC与sinC的值，利用余弦定理表示出cosC，利用完全平方公式变形后，将a+b，c及cosC的值代入求出ab的值，再由ab及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵sin²2C+sin2C•sinC-2sin²C=0，
∴4sin²C•cos²C+2sin²C•cosC-2sin²C=0，即2sin²C（2cos²C+cosC-1）=0，
∵sinC≠0，即sin²C≠0，
∴2cos²C+cosC-1=0，即（2cosC-1）（cosC+1）=0，
∴cosC=-1（舍去）或cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

；
（Ⅱ）∵cosC=cos

π

3

=

1

2

，且cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴

a2+b2-c2

2ab

=

(a+b)2-2ab-c2

2ab

=

1

2

，
又∵a+b=5，c=

7

，
∴

25-2ab-7

2ab

=

1

2

，
整理得：ab=6，又sinC=

3

2

，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式，完全平方公式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．