Question

如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.

（Ⅰ）求证：平面；   　
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得点到平
面的距离为？若存在，确定点的位置；
若不存在，请说明理由.

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，
∴，又，
∴平面，
∴.                                                   2分
同理，                                               4分
∴平面．          
5分
（Ⅱ）解：设为中点，连结，
又为中点，
可得，从而底面．
过 作的垂线，垂足为,连结．
由三垂线定理有，
∴为二面角的平面角.                        7分
在中，可求得   
∴．                               9分
∴ 二面角的大小为．               10分
（Ⅲ）解：由为中点可知,
要使得点到平面的距离为，
即要点到平面的距离为.
过 作的垂线，垂足为,

∵平面，
∴平面平面，
∴平面，
即为点到平面的距离.
∴，
∴．                                        12分
设，
由与相似可得
，
∴，即．
∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为．
14分
解法二：
（Ⅰ）证明：同解法一．
（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系，                6分

则.         
设为平面的一个法向量，
则，．
又
 
令则
得．               8分
又是平面的一个法向量，
9分
设二面角的大小为 ，
则．
∴ 二面角的大小为．                    10分
（Ⅲ）解：设为平面的一个法向量，
则，．
又，
 
令则
得．                                         12分
又
∴点到平面的距离，
∴，
解得，即 .
∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且为中点．14分

试题分析：解法一：
（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，
∴，又，
∴平面，
∴.                                                   2分
同理，                                               4分
∴平面．          
5分
（Ⅱ）解：设为中点，连结，
又为中点，
可得，从而底面．
过 作的垂线，垂足为,连结．
由三垂线定理有，
∴为二面角的平面角.                        7分
在中，可求得   
∴．                               9分
∴ 二面角的大小为．               10分
（Ⅲ）解：由为中点可知,
要使得点到平面的距离为，
即要点到平面的距离为.
过 作的垂线，垂足为,

∵平面，
∴平面平面，
∴平面，
即为点到平面的距离.
∴，
∴．                                        12分
设，
由与相似可得
，
∴，即．
∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为．14分
解法二：
（Ⅰ）证明：同解法一．
（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系，                6分

则.         
设为平面的一个法向量，
则，．
又
 
令则
得．               8分
又是平面的一个法向量，
9分
设二面角的大小为 ，
则．
∴ 二面角的大小为．                    10分
（Ⅲ）解：设为平面的一个法向量，
则，．
又，
 
令则
得．                                         12分
又
∴点到平面的距离，
∴，
解得，即 .
∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且为中点．14分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，若利用向量则可简化证明过程。本题解法较多，相互比较，可见其优劣。