Question

已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，求：
（1）a₁+a₂+…+a₇；
（2）|a₀|+|a₁|+…+|a₇|．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）x=1时，求出a₀+a₁+a₂+…+a₇的值，x=0时求出a₀的值，即可计算a₁+a₂+…+a₇的值；
（2）根据展开式知，a₁、a₃、a₅、a₇均为负值，a₀、a₂、a₄、a₆均为正值，求出a₁+a₃+a₅+a₇与a₀+a₂+a₄+a₆的值即可．

解答： 解：（1）当x=1时，（1-2x）⁷=（1-2）⁷=-1，
∴a₀+a₁+a₂+…+a₇=-1；
当x=0时，a₀=1，
∴a₁+a₂+…+a₇=-1-1=-2；
（2）由展开式知，a₁、a₃、a₅、a₇均为负值，a₀、a₂、a₄、a₆均为正值，
当x=1时，a₀+a₁+a₂+…+a₇=-1，①
当x=-1时，a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇=3⁷，②
∴①-②得，2（a₁+a₃+a₅+a₇）=-1-3⁷，
∴a₁+a₃+a₅+a₇=-

1+37

2

；
∴a₀+a₂+a₄+a₆=-1-（a₁+a₃+a₅+a₇）=-1+

1+37

2

=

-1+37

2

；
∴|a₀|+|a₁|+…+|a₇|=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇
=（a₀+a₂+a₄+a₆）-（a₁+a₃+a₅+a₇）
=

-1+37

2

+

1+37

2

=3⁷．

点评：本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应根据展开式的特点，灵活应用特殊值计算，是中档题目．