Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=AB，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PB的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求EF与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设PA=AB=2，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF∥平面PCD．
（2）求出$\overrightarrow{EF}$和平面PAD的法向量，利用向量法能求出EF与平面PAD所成角的正弦值．

解答 （1）证明：设PA=AB=2，
∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=AB，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PB的中点．
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得E（2，1，0），A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），
F（1，0，1），C（2，2，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{EF}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}$=0-1+1=0，EF?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
（2）解：设EF与平面PAD所成角为θ，
∵$\overrightarrow{EF}$=（-1，-1，1），平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴EF与平面PAD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．