设命题P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的两个实根,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1,1]恒成立,命题Q:不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解,若P且Q为真,试求实数m的取值范围.
【答案】
分析:由方程的根与系数关系可得,x
1+x
2=a,x
1x
2=-2,而|x
1-x
2|=
=
代入结合a得范围可求|x
1-x
2|的最大值,结合已知可得|m
2-5m-3|≥|x
1-x
2|
max在a∈[-1,1]成立即可,从而可求P对应的m得范围;再由不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解,则只要f(x)
max>1,从而可求Q所对应的m的范围,由P且Q为真可知P,Q都为真命题,即可求
解答:解:∵x
1,x
2是方程x
2-ax-2=0的两个实根
∴x
1+x
2=a,x
1x
2=-2
∴|x
1-x
2|=
=
=
当a∈[-1,1]时,
∵不等式|m
2-5m-3|≥|x
1-x
2|对任意实数a∈[-1,1]恒成立
则只要|m
2-5m-3|≥|x
1-x
2|
max在a∈[-1,1]成立即可
∴|m
2-5m-3|≥3
∴m
2-5m-3≥3或m
2-5m-3≤-3
即m
2-5m-6≥0或m
2-5m≤0
解不等式可m
2-5m-6≥0得,m≥6或m≤-1
解不等式m
2-5m≤0得,0≤m≤5
综上可得,P:m≥6或m≤-1或0≤m≤5
∵不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解
令f(x)=|x-2m|-|x|=
,
结合该函数的性质可知,函数的最大值为2m,最小值为-2m
若使得不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解,则只要f(x)
max>1即2m>1即可
Q:m
∵P且Q为真
∴P,Q都为真命题
∴
∴
点评:本题目主要考查了复合命题的真假判断的应用,解题得关键是熟练应用函数的知识准确求出命题P,Q为真时的m的取值范围.